46 Antworten in diesem Thema

[Fox]

Guten Tag,

Bei der Suche nach der Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Karte,
also die prozentuale Wahrscheinlichkeit, beispielsweise einen 4-of auf der Starthand zu halten,
kam ich lediglich auf einen einzelnen Thread, der das ganze dazu noch nur nebenbei behandelte.
Dort steht, die Wahrscheinlichkeit für ein 4-of auf der Starthand sei 39.95%.

Nach eigener Recherche, wie man das Ganze berechnet,
da mich auch die Wahrscheinlichkeiten für 3-ofs, sowie nach Mulligans interessierten, kam ich auf folgende Formel:

Die Herleitung habe ich dann nicht komplett verstanden Aber es klang mir schlüssig, sodass ich bei
P(a) = 1- P(a) = 1- (1x1x (1 - Z/60) ^ K
bin, wobei Z = Anzahl der gesuchten Karten im Deck (also im Beispiel: 4) und K = Gezogene Karten (also im Beispiel: 7).
Gemäß dem Beispiel erhalte ich für die Wahrscheinlichkeit auf 4-of in der Starthand allerdings 38.3%.

Kein besonders großer Unterschied, aber wenn, dann möchte ich auch korrekt rechnen;
Deswegen nun meine Frage: Ist die Angabe in dem Thread falsch, oder fehlt in meiner Rechnung/Herleitung etwas (bzw sie ist komplett inkorrekt)?

Danke schonmal,
- Fox

[TeKo]

P(a) = 1- P(a) = 1- (1x1x (1 - Z/60) ^ K

checke ich nicht
Warum P(a) = 1-P(a) ?

Naja warum nicht einfach (7C1) (4/60)^1 (1-(4/60))^(7-1) damit hättest dann für genau eine der Karten.

Naja ohne Taschenrechner komme ich grad nich klar, mit google nervt das ziemlich, Editiere hier nacher, denke mal nicht vor 14Uhr Formel+Ergebnis rein

Achja, aber mit google komme ich grade auch eher auf deins: 0.382452622

Bearbeitet von TeKo, 06. Juli 2009 - 03:56.

[Fux]

Hi,
ich bin grade nach n paar Stunden schlaf aufgestanden und deswegen noch nicht ganz auf der Höhe....verständnisfehler also bitte tnschuldigen.


Schauen wir uns doch mal deine Formel an:
1- P(a) = 1- (1x1x (1 - Z/60) ^ K
Du rechnest hier anscheinend über das Gegenereignis und denkst dir (sofern ich das richtig verstehe) folgendes:
Wahrscheinlichkeit mit einmal ziehen die gesuchte KArte zu bekommen ist 4/60, Gegenereignis 56/60.
Wenn ich jetzt x mal ziehe ist die Wahrscheinlichkeit es NICHT zu ziehen dementsprechend (56/60)^x.
Davon machste das Gegenereignis und sagst du hast das Ergebnis.
Hierbei trifft folgender Denkfehler auf: nachdem du die erste Karte gezogen hast ist die Wahrscheinlichkeit mit dem 2ten ziehen eine gesuchte Karte zu ziehen 4/59, nicht 4/60 etcetc.


Da ich wie bereits erwähnt nicht wach genug bin dir jetzt eine Formel hinzuklatschen erkläre ich dir einfach die Berechnungsüberlegung:
7 KArten ziehen, gesuchte Karte ist 4mal im Deck:
Überlegung: Wir breiten das ganze DEck vor uns aus, alle Karten nebeneinander und nummerrieren sie 1-60.
Der Einfachheithalber denken wir uns die anderen Karten als Inseln (die wohl häufigst gespielte nicht-blaue Karte)
Wieviele Möglichkeiten haben wir nun diese 60 KArten auszulegen, bzw die 4 gesuchten auf die 60 "Slots" zu verteilen?
60*59*58*57 Möglichkeiten (die erste Karte hat 60 Möglichkeiten, die zweite 59 .....)

So, die nächste Überlegung ist, in wieviele dieser Varianten haben wir 0 mal die gesuchte KArte auf der Hand.
Denken wir uns einfach unsere Hand als die ersten 7 Zahlen, also 1-7. Die anderen 53 Karten sind die nicht-gezogenen.
D.h. die 4 gesuchten Karten sind nun NUR in den übrigen 53 Karten!
Wieviele möglichkeiten gibt es sie Dort zu verteilen? 53*52*51*50 Möglichkeiten!

Wir haben also 53*52*51*50 Möglichkeiten, dass die gesuchte Karte 0mal in den ersten sieben ist, 60*59*58*57 Möglichkeiten insgesammt.
--> (53*52*51*50) / (60*59*58*57) = ca 0.600500374.
Wir brauchen aber das Gegenereignis (wir suchen ja mindestens 1mal und nicht genau 0 mal) was ca 39.95% sind.


Dem aufmerksamen Leser mag aufgefallen sein, dass ich in meiner Berechnung die Variation weggelassen habe.
Die 4 gesuchten Karten sind ja alle gleich, müsste man dementsprechen dnicht alles durch 4!, also 24 Teilen?
Die Antwort ist NEIN, da man das sowohl oberhalb des Bruchstriches, als auch unterhalb tuen müsste und es sic so wegkürzt.

Bearbeitet von Fux, 06. Juli 2009 - 07:17.

[Alucard1766]

äh, ich hab nun ein bisschen nachgerechnet. Zwar sind wahrscheinlichkeiten schon ein bisschen her aber ich hab mich mal ein bisschen angestrengt xD:

also ich versuche das mal darzulegen:

Ich will herausfinden wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, ein 4of in 60 Karten zu finden. Dazu berechne ich erst, wie hoch sie ist, die Karte NICHT zu finden:

Über dem Bruchstrich: Gewünschte Möglichkeiten (alles andere als das 4of)
Unter dem Bruchstrich: Gesammtmöglichkeiten (alles)
56/60 das es sie nicht ist bei 1. Karte gezogen (60 karten im deck wobei ich 56 davon ziehen möchte)
55/59 das es sie nicht ist bei 2. Karte gezogen
........
50/54 bis hierher wurde 7 mal gezogen

das ergibt oberhalb: 56*55*54*53*52*51*50 gekürzt: 53*52*51*50 = 7027800
das ergibt unterhalb: 60*59*58*57*56*55*54 gekürzt: 60*59*58*57 = 11703240

das dividiert ergibt: 0.6005003

jetzt noch das umkehren und man hat die wahrscheinlichkeit für mindestens 1 Karte de 4ofs

1-0.6005003 = 0.39949 = 39.949%

lg

Bearbeitet von Alucard1766, 06. Juli 2009 - 12:38.

[Fox]

Danke an Alucard, auch wenn mein Beinahe-Namensvetter selbiges bereits vor 5.5 Stunden schrieb An Fux also auch ein Danke!

Noch einmal zum sicher gehen:
Zur Berechnung mit Mulligan nehme ich nun also einfach die selbe Rechnung nochmals,
es verschieben sich lediglich die Zahlen über dem Bruchstrich um eine Position;
Folglich also 1- (54*53*52*51 / 60*59*58*57) = 35.146%,
das nun einfach auf die erste Starthand addieren und ich lande bei 75.095%
als Wahrscheinlichkeit für 4of auf der Starthand, wenn ich den 1.Mulligan hinzuberechne.

Stimmt das soweit? Falls ja, nochmals ein dickes Dankeschön

Bearbeitet von Fox, 06. Juli 2009 - 12:54.

[Alucard1766]

Danke an Alucard, auch wenn mein Beinahe-Namensvetter selbiges bereits vor 5.5 Stunden schrieb An Fux also auch ein Danke!

Noch einmal zum sicher gehen:
Zur Berechnung mit Mulligan nehme ich nun also einfach die selbe Rechnung nochmals,
es verschieben sich lediglich die Zahlen über dem Bruchstrich um eine Position;
Folglich also 1- (54*53*52*51 / 60*59*58*57) = 35.146%,
das nun einfach auf die erste Starthand addieren und ich lande bei 75.095%
als Wahrscheinlichkeit für 4of auf der Starthand, wenn ich den 1.Mulligan hinzuberechne.

Stimmt das soweit? Falls ja, nochmals ein dickes Dankeschön

Joa aber ich konnte seinen Weg nicht nachvollziehen xD

hmm du hast dann folgende Situation bei 6 Karten:
56*55*54*53*52*51 = 54*53*52*51 = 7590024
60*59*58*57*56*55 = 60*59*58*57 = 11703240

ergibt umgekehrt: 35.146%

joa deine Rechnung stimmt

[Silver Seraph]

Du darfst die Prozentzahlen natürlich nicht einfach addieren. Sonst würde das Ergebnis ja, wenn du noch ein Mulligan auf 5 dazu nimmst, auf ca. 105% kommen, was natürlich grober Unfug ist.

Du musst es anders machen:
Die Wahrscheinlichkeit, ein 4-of in den ersten 7 Karten zu haben, beträgt 39,95%.
Die Wahrscheinlichkeit, ein 4-of in den ersten 6 Karten zu haben, beträgt 35,15% (wenn deine Rechnung stimmt, wovon ich mal ausgehe).

Die Wahrscheinlichkeit, nach einem Mulligan die Karte gesehen zu haben, berechnet sich also so:
Wenn ich sie auf der Starthand habe, muss ich kein Mulligan nehmen, also bleibt es bei 39,95%.
Die Wahrscheinlichkeit, sie NICHT auf der Starthand zu haben (Gegenwert 60,05%) und sie im 1. Mulligan zu haben (35,15%) errechnet sich aus dem Produkt dieser beiden Ereignisse:
0,6005 * 0,3515 = 0,21107575
Beträgt also ca. 21,11%.
Und erst dieses Ergebnis addiert man zu den vorherigen 39,95%
Die Wahrscheinlichkeit, ein 4-of nach einem Mulligan mindestens einmal gesehen haben, beträgt also 39,95% + 21,11% = 61,06%

[Fox]

Oh Je Gut, die Rechnung für einen Schritt habe ich raus, aber wie kriege ich die Wahrscheinlichkeiten zusammen?
Dachte bis eben, man müsse einfach die einzelnen Wahrscheinlichkeiten addieren.
Mache ich das dann noch für den 2.Mulligan,

55*54*53*52 = 8185320
60*59*58*57 = 11703240
1 - (8185320/11703240) = 0.3006 ; 30.06%

30.06% + 75.095% = 105.155% Wahrscheinlichkeit*, das halte ich für nicht allzu realistisch
Stochastik in der Schule ist zu lang her Wie berechnet man das nochmal? :S

Nochmals schonmal Danke ~
- Fox.

*auf 4of in der Starthand nach 2 Mulligans

E: Super, die Antwort kam vor der Frage Dankeschön ;D

2.Mulligan wäre also (1 - 0.6106) * 0.3006 = 0.117 ; 11.7%
-> 61.06% + 11.7% = 72.26% Wahrscheinlichkeit*

Bearbeitet von Fox, 06. Juli 2009 - 13:34.

[pseudo]

deine 30,06% für das 1of in der 5er Hand musst du jetzt wieder mit den 64,85% verrechnen, bei denen du die Karte auf der 6er Hand nicht findest.
0.3006*0.6485=0.1949391 (19,493%)

P(Mulli3)~80,25%

[Juergen]

Ich hab mal ne Exceltabelle gemacht die das alles ausrechnet. Excel kann man leider irgendwie nicht hochladen aber hier habt ihr mal die Zahlen für 60 Karten im Deck, davon 4x die gesuchte Karte:

 Dok4.doc   114,5K   25 Mal heruntergeladen

Die Zahlen stimmen zu 100%!

Bearbeitet von Juergen, 06. Juli 2009 - 13:43.

[Fux]

ICh fasse hier nochmal was grundlegendes zusammen (Stochastik)

Wenn es darum geht ein Ereignis zu berechnen ala "mindestens einmal" verwendet man dazu Prinzipiel fast immer das Gegenereignis, in diesem Falle 0mal auf der Hand.

Die Karte also nach Ziehen+6Mulligan nicht zu sehen ist (danke für die Tabelle, muss ich weniger eintippen):
0,6005*0,6485=0,3894 also ca 39% sie nicht zusehen -> du siehst sie zu 61%!

wenn man 5er Mulli noch dazu nimmt:
0,6005*0,6485*0,6994=0,2724 was anders gesagt ca 73% ist, dass man sie gesehen hat.

[Juergen]

Die Tabelle hab ich schon ewig...
Mit Excel kriegt du halt nicht nur die Warscheinlichkeiten für 0-mal hin, sondern auch für genau 1-mal, 2-mal, 3-mal, 4-mal...

Ich geb euch mal die Formeln, dann könnt ihr euch die Tabelle selbst basteln.

In B9 - B19 und in C8 - BL8 schreibt ihr einfach die Zahlen.
In C3 schreibt ihr 60 und in E3 schreibt ihr 4. Die Zahlen könnt ihr später ändern.
In C9 kommt die Zahl 1. In C10 - C19 kommt jeweils die Zahl 0.
In D9 kommt die Formel: =C9*($C$3-$E$3-C8)/($C$3-C8)
Die zieht ihr über alle Felder rechts von D9.
In D10 kommt die Formel: =C9*($E$3-$B9)/($C$3-C$8)+C10*($C$3-C$8-($E$3-$B10))/($C$3-C$8)
Die zieht ihr über alle Felder rechts und unterhalb von D10.

[Alucard1766]

xD

gute arbeit
aber besser und einfacher wäre es wohl, das xls zu packen (zip oder rar...) und dann hier hochzuladen. Ich mäckere dann mal bei error xD

lg

[Juser]

Guten Tag,

Bei der Suche nach der Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Karte,
also die prozentuale Wahrscheinlichkeit, beispielsweise einen 4-of auf der Starthand zu halten,
kam ich lediglich auf einen einzelnen Thread, der das ganze dazu noch nur nebenbei behandelte.
Dort steht, die Wahrscheinlichkeit für ein 4-of auf der Starthand sei 39.95%.

Wenn du mit 4-of auf der Hand meinst, dass man eine Karte, die man 4 Mal im Deck spielt, mindestens ein Mal auf der Starthand hat, dann stimmen die 39,95%.

Berechnet man ganz einfach über die gegenwahrscheinlichkeit, dass man keine der 4 Karten auf der Starthand hat: (4 über 0)*(56 über 7)/(60 über 7)

Die Wahrscheinlichkeit für einen "3-of" wäre dann: 1 - (3 über 0)*(57 über 7)/(60 über 7) = 31,54%

schöner kann ichs leider im Forum nicht schreiben XD

[Nivelas]

Hi ich habe mich heute etwas mit dem Thema beschäftigt,allerdings zu sehr damals im Abi gepennt

 

Vll kann mir hier jemand weiterhelfen?

Es geht um folgendes:

 

Ich habe eine Karte 4x im Deck und eine 3x (60Karten Deck)

 

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit beide in der Starthandzu haben?

Wie hoch wäre die Wahrscheinlichkeit beide in der Starthand zu haben wenn ich beide auf 4stk erhöhe?

 

Und wie hoch wäre die W. eine davon in der Starthand zu haben und die zweite Karten im nächsten Zug zu ziehen?

 

VG und danke falls das einer berechnen kann

[Ungestüm]

Wenn die Wahrscheinlickeinten auf Deckstats. net stimmen sind die wie folgt:

 

1 von 4 auf der Starthand = 39.9%

1 von 3 auf der Starthand = 31.5%

 

Beide 3 und 4 0,399 * 0,315 = 0,1256 = 12,56 %

Beide 4 0,399 * 0,399 = 0,1592 = 15,92 %

[The Beast]

Stimmt so nicht ganz, weil du für die Wahrscheinlich von Karte B nur von 6 Handkarten ausgehen darfst, da die 7te bereits durch Karte A belegt ist. Die ~12% bzw. ~16% sind aber als grobe Richtwerte wohl völlig ausreichend, da die Verschiebung nicht allzu groß sein sollte.

[Nivelas]

OK Vielen DANK

[demon_mfg]

Stimmt so nicht ganz, weil du für die Wahrscheinlich von Karte B nur von 6 Handkarten ausgehen darfst, da die 7te bereits durch Karte A belegt ist. Die ~12% bzw. ~16% sind aber als grobe Richtwerte wohl völlig ausreichend, da die Verschiebung nicht allzu groß sein sollte.

 

Hier käme dann die Hypergeometrische Verteilung zum Tragen, also quasi eine Binomialverteilung ohne Zurücklegen. Mithilfe einschlägiger Tabellenkalkulationsprogramme wie Excel oder OpenOffice Calc lässt sich soetwas relativ leicht berechnen.
 

[Lee]

Deckstats gibt oft leicht falsche Werte wieder und die kombinierte Wahrscheinlichkeitsrechnung von Ungestüm ist recht quick 'n dirty. Die korrekten kombinierten Ergebnisse für je mindestens eine gezogene Karte sollten sein:

 

Fall 4+3: 11,91%

Fall 4+4: 14,54%

 

Die dritte Frage ist vermutlich so gemeint, dass man die 1-Land-Hand bereits hält und nicht bloß der hypothetische Fall vor dem Ziehen? Bei drei Kopien von der fehlenden Karte beträgt die Wahrscheinlichkeit im nachfolgenden Zug dann 5,66% und bei vier Kopien 7,55%. Bis zum dritten Zug kumulieren sich die Wahrscheinlichkeiten, mindestens einmal die gesuchte Karte zu ziehen, sogar zu 16,33% respektive 21,35%.